2019 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（一）
一、选择题：每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求。
1.当x 0 时， 2 3 4 x x x x 的 x 为（
）
A.等价无穷小 B.2 价无穷小 C.3 价无穷小 D.4 价无穷小
2.
x
x
x
2
l
im
1
A. 2 e
B. e
C.e
D. 2e
3.设函数 y cos 2x，则 y
A. y 2sin 2x
B. y 2sin 2x
C. y sin 2x
D. y sin 2x
4.设函数 f x在a,b上连续，在a,b可导，f x > 0，f af b < 0 ，则 f x
在a,b零点的个数为（
）
A.3
B.2
C.1
D.0
5.设 2x 为 f x的一个原函数，则 f x =（
）
A.0
B.2
C. 2 x
D. x C 2
6.设函数 f x arctan x ，则 f x dx （
）
A. arctan x C
B.
C
x
2 1
1
C.arctan x C D. C x 2 1 1
7.设
1
0
2
1I
x dx，
1
0
3
2 I
x dx，
1
0
4
3 I
x dx，则（
）
A. 1 2 3 I > I > I
B. 2 3 1 I > I > I
C. 3 2 1 I > I > I
D. 1 3 2 I > I > I
8.设函数 y z x e2 ，则
1,0
x
z
（
）
A.0 B.
2
1 C.1 D.2
9.平面x 2y 3z 4 0的一个法向量为（
）A.（1，-3,4） B.（1,2,4） C.（1,2，-3） D.（2，-3,4）
10.微分方程
0 3 4
y y
y 的阶数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分。将答案填写在答
题卡相应题号后。
11.
x
x
x
tan
2
lim
0
_________
12.若函数
a,
x
0
5
x
, x
<
0
f x
，在点 x=0 处连续，则 a=_________
13.设函数 x y e2 ，则 dy=_________
14.函数 f x x 12x 3 的极小值点 x=_________
15.
dx
x2
1
1
_________
16.
1
1 2 x tan xdx _________
17.设函数 3 2 z x y ，dz=_________
18.设函数 z x arcsin y ，则
2
2
x
z
_________
19.幂级数
n1 n nx 的收敛半径为___________
20.微分方程 y 2x 的通解 y=_________
三、解答题：21～28 题，共 70 分，接答应写出推理、演算步骤
21.若
2
sin
2
lim
0
x
x
kx
x
，求 k22.设函数 y sin2x 1，求 y
23.设函数 y x ln x ，求 y
24.计算
x
e
dx
x
3
125.设函数
x
y
z 1
1
，求
y
z
y
x
z
x
2
2
26.设 D 是由曲线 2 x 1 y 与 x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域
如图所示，求：
（1）D 的面积 S
（2）D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 V
27.求微分方程 y 5y 6y 0 的通解28.计算二重积分I
x y
dxdy
n
2 2
，其中 D 是由曲线 1 2 2 x y ，y=x。
X 轴在第一象限围成的有界区域2019 年成人高等学校专升本招生全国统一考试
高等数学（一）试题答案解析
1.【答案】A
【解析】lim
lim(1 ) 1 2 3
2
3 4
0
x x x
x
x x
x x
x
x
故 2 3 4 x x x x 是 x 的等价无穷小.
2.【答案】D
【解析】
2
2
2
2
2
)
2
)
l
im
(1
2
) l
im
(1
2
l
im
(1
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3.【答案】B
【解析】 y (cos 2x) sin 2x (2x) 2sin 2x.
4.【答案】C
【解析】由零点存在定理可知，f(x)在(a,b)上必有零点.且函数是单
调函数.故其在(a，b)上只有一个零点.
5.【答案】B
【解析】由题可知 ( ) 2 , ( ) ( ( ) ) (2 ) 2 f x dx x C 故f x f x dx x C
6.【答案】C
【解析】 f x dx f x C x C ( ) ( ) arctan
7.【答案】A
【解析】在区间(0.1)内.有 2 3 4 x x x 由积分的性质可知
1
0
4
1
0
3
1
0
2 x dx
x dx
x dx即 2 3 I I I
8.【答案】D
【解析】 2 ,
2 1 1 2
(1
0)
，
故
x
z
xe
x
z y9.【答案】C
【解析】平面的法向量即平面方程的系教{1，2，-3}.
10.【答案】B
【解析】微分方程中导敏的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是
2 阶导数，故本题阶数为 2.
11.【答案】2
【解析】
2.
2
lim
tan
2
lim
0
0
x
x
x
x
x
x
12.【答案】0
【解析】由于 f(x)在 x=0 处连续，故有
f x
x f a
x
x
lim
( )
l
im
5 0 (0)
0
0
13.【答案】 e dx 2x 2
【解析】dy d e e x dx e dx 2x 2x 2x ( ) (2 ) 2
14.【答案】2
【解析】 ( ) 3 12 3( 2)( 2), 2 -2 , ( ) 0 2 f x x x x 当x 或x 时 f x
当x 2时，f x 0;当 2 x 2时，f x 0;当x 2时，f (x) 0
因此 x=2 是极小值点。
15.【答案】arcsin x C
【解析】
dx x C
x
arcsin
1
1
2
.
16.【答案】0
【解析】被积函数x x 2 tan 在对称区间[-1.1]上是奇函数，
故
tan 0
1
1 2
x xdx 。
17.【答案】3x dx 2ydy 2 【解析】
y
y
z
x
x
z 3 ,
2
2
所以
dy x dx ydy
y
z
dx
x
z
dz
3 2 2
18.【答案】0
【解析】 arcsin ,
0. 2
2
x
z
y
x
z
19.【答案】1
【解析】
,
1
0
n
n
n
n nx
nx 设a n n .则有
) 1
1
lim
(1
1
lim
n
n
n
x
x
故其收敛半径为
1. 1
R
20.【答案】 x C 2
【解析】微分方程 y 2x是可分离变量的微分方程， 两边同时积分得
ydx xdx y x C 2 2 .
21.【答案】
. 2
1 2 1 2 2,
sin
lim
sin
2
lim
0
0
k k k
x
x
x
x
kx
x
x
故
22.【答案】 sin(2 1) cos(2 1) (2 1) 2cos(2 1). y x x x x
23.【答案】 y (x)ln x x(ln x) ln x 1，故
.
1 (ln )
x
y x
24.【答案】 x e dx x dx e dx x
e C
x x
x
3
1 1 3
1
3
1
3
1
1
1 ( )
25.【答案】
-1 1 0
1
1
,
1
,
1
2 2
2 2
2
2
2
2
y
y x
y
x
z
y
x
z
x
y
y
z
x
x
z
故
26.【答案】
（1）积分区域 D 可表示为：0 1,0 1 , 2 y x y
3
2
) 3
1 (1 ) (
1
0
3
1
0
2
S
y dy y
y
。（2）
2 (1 ) 1
0
1
0
2
V
y dx
x dx
27.【答案】
故微分方程的通解为 为任意常数）
解得 或 ，
1 2 6 2 - 1 2 1
1 2 2
1 2 ( ,
特征方程 5 6 0, 1 6
y C e C e C e C e C C
r r r r
r x r x x x
28.【答案】积分区域用极坐标可表示为： ,0 1, 4 0 r
所以
.
4
1
6
1
4
( )
1
0
4
4
0
1
0
2 2
2
学历教育
