等差数列、等比数列

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.成人高考中也一直重点考查这部分内容。

●难点磁场

(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.

●案例探究

[例1]已知函数f(x)= (x<-2).

(1)求f(x)的反函数f--1(x);

(2)设a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn< 成立?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.

命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.

错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{ }为桥梁求an,不易突破.

技巧与方法：(2)问由式子 得 =4,构造等差数列{ },从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.

解：(1)设y= ,∵x<-2,∴x=- ,

即y=f--1(x)=- (x>0)

(2)∵ ，

∴{ }是公差为4的等差数列，

∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

(3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn< 成立.

数列的通项与求和

数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是成人高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.

●难点磁场

(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

(1)写出数列{an}的前3项.

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn-n).

●案例探究

[例1]已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .

命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.

错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.

技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.

解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，

∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，

∵d=2，∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，

∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，

∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1

(2)令 =dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),

∴dn=an+1-an=2,

∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].

数列综合应用

纵观近几年的成人高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

●难点磁场

(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x= 处取得最小值- (t>0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式;

(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn;

(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.

●案例探究

[例1]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式;

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1- )万元，…第n年投入为800×(1- )n-1万元，所以，n年内的总投入为

an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

=4000×[1-( )n]

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+ )，…，第n年旅游业收入400×(1+ )n-1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

=1600×[( )n-1]

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an>0，即：

1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.