二元函数的极限

设函数z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)的某一去心邻域内有定义，点P(x,y)为该邻域内任意一点，当点P(x,y)以任意方式趋近于点P₀(x₀,y₀)时，函数f(x,y)的值都趋近于一个确定的常数A，则称A是函数z=f(x,y)当点P(x,y)趋近于点P₀(x₀,y₀)时的极限，记作

二元函数的连续性

多元函数的连续性质

关于成人高考专升本·高等数学二中《多元函数的连续性质》的考点，包括：多元连续函数的和、差、积仍为连续函数、最值定理和介值定理等知识点，具体内容如下：

(1)多元连续函数的和、差、积仍为连续函数;在分母不为零的点处，连续函数之商仍为连续函数;

(2)多元连续函数的复合函数也是连续函数;

(3)多元初等函数在其定义域上都是连续函数;

(4)最值定理：有界闭区域D上连续的函数，在区域D上必能取得最大值与最小值;

(5)介值定理：有界闭区域D上连续的函数，在区域D上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值.

求二元函数的定义域

关于成人高考专升本·高等数学二中《求二元函数的定义域》的考点，具体内容如下：

二元函数定义域的求法与一元函数定义域的求法相同，即考虑分式的分母不能为零，负数不能开偶次方，零与负数无对数，反正弦函数、反余弦函数的自变量只能在-1与1之间取值，正切函数的自变量不能等于kπ+(π/2)(k=0,±1,±2,…)，余切函数的自变量不能等于kπ(k=0,±1,±2,…)等.考虑到以上这些因素，建立不等式组，求出其解的交集，就是二元函数的定义域.定义域的代数表达式为

D={(x,y)|x,y满足的条件｝.

求二元函数的间断点

关于成人高考专升本·高等数学二中《求二元函数的间断点》的考点，包括：定义和案例分析等知识点，具体内容如下：

对于多元初等函数，由于在其定义域上皆连续，所以求其间断点即求其没有定义的点.

【例题】求函数f(x,y)=(x+y)/(y²-2x)的间断点.

【解析】由于该函数关系式是分式，于是在满足y²-2x≠0的区域上，函数都有定义，且皆连续，所以，此函数在抛物线y²=2x上每点处都间断(形成间断线).故f(x,y)的间断点为

全微分的性质和高阶混合偏导数的性质

多元函数的偏导数

隐函数的偏导数

极值存在的必要和充分条件

考点一 极值存在的必要条件

设点P₀(x₀,y₀)为z=f(x,y)的极值点，且z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)处的偏导存在，则必有fₓ(x₀,y₀)=0，fᵧ(x₀,y₀)=0.

考点二 极值存在的充分条件

设函数z=f(x,y)在其驻点(x₀,y₀)的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令A=fₓₓ(x₀,y₀)，Bₓ(x₀,y₀)，C=fᵧᵧ(x₀,y₀)，△=B²-AC，于是有

(1)如果△<0，则点(x0,y0)是函数的极值点，且

当A<0时(x₀,y₀)是极大值;当A>0时，f(x₀,y₀)是极小值。

(2)如果△>0，则点(x₀,y₀)不是函数的极值点.

(3)如果△=0，则函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)有无极值不能确定，需用其他方法判别.

条件极值的求法

先构造拉格朗日函数：F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y).

求解方程组

Fₓ=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ=ϕ(x,y)=0;

解出x,y,λ，则其中点(x,y)就是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能极值点的坐标.

求二元函数的无条件极值及极值点

求二元函数的无条件极值的步骤：

第一步：求fₓ(x,y)，fᵧ(x,y)，并解方程组fₓ(x,y)=0;fᵧ(x,y)=0求得一切驻点;

第二步：对于每一个驻点(x₀,y₀)，求出二阶偏导数的值A，B和C;

第三步：定出B²-AC的符号，判定点(x₀,y₀)是否是极值点，若是，判定是极大值点还是极小值点，并求出极值f(x₀,y₀).