求二元函数的条件极值

求二元函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值的方法与步骤：

方法一：化条件极值为无条件极值

第一步：从条件ϕ(x,y)=0中，求出y的显函数形式y=ψ(x);

第二步：将y=ψ(x)代人二元函数f(x,y)中，化为一元函数f[x,ψ(x)]的无条件极值;

第三步：求出一元函数f[x,ψ(x)]的极值即为所求.

方法二：拉格朗日乘数法

第一步：作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)(入为拉格朗日乘数);

第二步：由函数F(x,y,λ)的一阶偏导数组成如下方程组

Fₓ(x,y,λ)=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ(x,y,λ)=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ(x,y,λ)=ϕ(x,y)=0;

第三步：求解上述方程组，得驻点(x₀,y₀,λ)，则点(x₀,y₀)就是函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能的条件极值点.

通常，判定所得点(x₀,y₀)是否为所给问题的条件极值点，常依据问题的实际意义判定：如果所求驻点唯一，且实际问题的确存在最大值(或最小值)，那么，所求点(x₀,y₀)就是满足条件的极大值点(或极小值点)，也是所给实际问题的最大值点(或最小值点).

事件及其概率的考点

考点2 写出一个试验的所有基本事件及其样本空间

【例1】一次掷三枚同样的硬币，观察正面和反面出现的情况.用“正”表示{正面向

上｝，用“反”表示{反面向上｝，写出这个试验的基本事件及样本空间，并写出{至少有一

个正面向上｝和{恰有两个正面向上｝的事件所包含的基本事件.

【解析】根据试验内容，这个试验的所有基本事件如下：

W₁={正,正,正｝,W₂={正,正,反)，W₃={正,反,正｝，W₄={反,正,正｝,W₅={正,反,反｝，W₆={反,正,反｝,W₇={反,反,正｝,W₈={反,反,反｝.

试验的样本空间为：Ω=|w₁，W₂，W₃，W₄，W₅，W₆，W₇，W₈|.

不妨把|至少有一个正面向上)、恰有两个正面向上)的事件分别用A、B表示，则

A={w₁，W₂，W₃，W₄，W₅，W₆，W₇}，

B={W₂，W₃，W₄}

考点3 利用事件的运算符号表示事件

【例2】设A、B、C为某一随机试验中的三个事件，试用事件的运算符号表示下列事件：

(1)A发生而B与C都不发生;

(2)A、B、C都发生;

(3)A、B、C至少有一个发生;

(4)A、B、C恰有一个发生;

(5)A、B、C至少有两个发生;

(6)A、B、C皆不发生.

【解析】根据各种运算的意义，各事件可表示为：

(1) ABC(或A∩B’∩C’) ;

(2) ABC或(A∩B∩C) ;

(3)A+B+C(或A∪B∪C);

(4) AB’C’+A’BC’+A’B’C(或(A∩B’∩C’)∪(A’∩B∩C’)∪(A’∩B’∩C) ) ;

(5) A’BC+ABC’+AB’C+ABC(或(A’∩B∩C)∪(A∩B∩C’)∪(A∩B’∩C)∪(A∩B∩C) ) ;

(6) A’B’C’(或A’+B’+C’，A’∩B’∩C’，A’∪B’∪C’) .

古典概型及概率的定义和性质

考点1 古典概型

(1)古典概型

如果随机试验E的样本空间Ω具有如下特征：

①有限性--Ω中只含有有限个基本事件;

②等可能性——每个基本事件发生的可能性相同.那么称这样的随机试验对应的概率模型为古典概型。

如，掷硬币、掷骰子的试验等均属古典概型

(2)古典概型中随机事件的概率计算公式

设古典概型中随机试验E的样本空间Ω由n个基本事件组成，而随机事件A包含k(≤n)个基本事件，则事件A发生的概率为P(A)=k/n。

考点2 概率的公理化定义

设E为一随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称P(A)为事件A的概率，如果它满足下列条件：

(1)非负性：对任一事件A，有0≤P(A)≤1;

(2)规范性：P(Ω)=1，P(ϕ)=0;

(3)可列可加性：对于两两互斥的可列个随机事件A₁，A₂，…，An，…，有

P(A₁+A₂+…+An+…)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(An)+…

考点3 概率的性质

(1)0≤P(A)≤1，P(ϕ)=0.

(2)对于任意事件A，B有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).

特别地，当A与B互不相容时，P(A∪B)=P(A)+P(B).

其可推广：对于任意事件A，B，C有

P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) +P(ABC) .

当A₁，A₂，…，An，互不相容时，

P(A₁∪A₂∪…∪ An) =P(A₁) +P(A₂) +…+P(A)，其中n为正整数.

(3)P(B-A)=P(B)-P(AB).

特别地，当ACB时，P(B-A)=P(B)-P(A)，且P(A)≤P(B).

(4)P(A')=1-P(A).

以上概率性质很重要.希望考生掌握这些性质，并会用它们进行概率的基本运算.

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性

随机变量及其概率分布

离散型随机变量的数字特征